حل تمرین صفحه 96 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۹۶ حسابان یازدهم سلام! برای تعیین ربع زاویه، باید آن را به صورت کسری از $\pi$ (یک نیم‌دایره) ساده کنیم. ربع‌ها به صورت زیر هستند: * $\mathbf{۰ < \theta < \frac{\pi}{۲}}$: ربع اول * $\mathbf{\frac{\pi}{۲} < \theta < \pi}$: ربع دوم * $\mathbf{\pi < \theta < \frac{۳\pi}{۲}}$: ربع سوم * $\mathbf{\frac{۳\pi}{۲} < \theta < ۲\pi}$ یا $\mathbf{-\frac{\pi}{۲} < \theta < ۰}$: ربع چهارم --- ### ۱. زاویه $\alpha = \pi + \frac{\pi}{۳}$ * **ساده‌سازی**: $\alpha = \frac{۳\pi}{۳} + \frac{\pi}{۳} = \mathbf{\frac{۴\pi}{۳}}$ * **موقعیت**: $\pi < \alpha < \frac{۳\pi}{۲}$ (یعنی $۱۸۰^{\circ} < \alpha < ۲۷۰^{\circ}$). * **نتیجه**: انتهای کمان در ربع **سوم** است. --- ### ۲. زاویه $\beta = \frac{\pi}{۲} + \frac{\pi}{۴}$ * **ساده‌سازی**: $\beta = \frac{۲\pi}{۴} + \frac{\pi}{۴} = \mathbf{\frac{۳\pi}{۴}}$ * **موقعیت**: $\frac{\pi}{۲} < \beta < \pi$ (یعنی $۹۰^{\circ} < \beta < ۱۸۰^{\circ}$). * **نتیجه**: انتهای کمان در ربع **دوم** است. --- ### ۳. زاویه $\gamma = \pi - \frac{\pi}{۶}$ * **ساده‌سازی**: $\gamma = \frac{۶\pi}{۶} - \frac{\pi}{۶} = \mathbf{\frac{۵\pi}{۶}}$ * **موقعیت**: $\frac{\pi}{۲} < \gamma < \pi$ (یعنی $۹۰^{\circ} < \gamma < ۱۸۰^{\circ}$). * **نتیجه**: انتهای کمان در ربع **دوم** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۹۶ حسابان یازدهم سلام! این یک کاربرد مستقیم از فرمول **طول کمان** در هندسه است. طول برف پاک کن همان **شعاع ($r$)** دایره‌ای است که نوک آن طی می‌کند. ### الف) اندازه کمان بر حسب رادیان ($\theta$) از فرمول تبدیل واحد استفاده می‌کنیم: $\mathbf{R = D \times \frac{\pi}{۱۸۰}}$ * **زاویه ($D$)**: $۱۲۰^{\circ}$ * **تبدیل**: $$\theta = ۱۲۰^{\circ} \times \frac{\pi}{۱۸۰^{\circ}} = \frac{۲}{۳}\pi$$ **نتیجه**: اندازه کمان بر حسب رادیان $\mathbf{\frac{۲\pi}{۳}}$ است. --- ### ب) طول کمان طی شده توسط نوک برف پاک کن ($l$) از فرمول **طول کمان** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{l = r\theta}$ (که $\theta$ بر حسب رادیان است). * **شعاع ($r$)**: $۲۴ \text{ cm}$ * **زاویه رادیان ($\theta$)**: $\frac{۲\pi}{۳}$ * **تقریب $\pi$**: $\pi \approx ۳.۱۴$ $$\mathbf{l = ۲۴ \times \frac{۲\pi}{۳}}$$ $$l = ۸ \times ۲\pi = ۱۶\pi$$ **محاسبه عددی**: $$l \approx ۱۶ \times ۳.۱۴ = \mathbf{۵۰.۲۴} \text{ cm}$$ **نتیجه**: طول کمانی که نوک برف پاک کن طی می‌کند، تقریباً **۵۰.۲۴ سانتی‌متر** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۹۶ حسابان یازدهم سلام! وقتی یک **مخروط** باز و گسترده می‌شود، به شکل یک **قطاع دایره** در می‌آید. **طول کمان** این قطاع برابر با **محیط قاعده مخروط** است و **شعاع** قطاع برابر با **مولد مخروط** ($l$) است. 📐 ### گام اول: محاسبه طول مولد ($l$) مولد مخروط ($l$)، شعاع ($r$) و ارتفاع ($h$) تشکیل یک **مثلث قائم‌الزاویه** می‌دهند. از قضیه فیثاغورس استفاده می‌کنیم: $$l^۲ = r^۲ + h^۲$$ * $r = ۶ \text{ cm}, h = ۸ \text{ cm}$ $$l^۲ = ۶^۲ + ۸^۲ = ۳۶ + ۶۴ = ۱۰۰$$ $$\mathbf{l = ۱۰} \text{ cm}$$ * **نکته**: طول مولد ($l$)، همان **شعاع قطاع گسترده** است. ### گام دوم: محاسبه طول کمان قطاع ($L$) طول کمان قطاع ($L$) برابر با محیط قاعده مخروط است: $$L = ۲\pi r_{\text{قاعده}}$$ $$L = ۲\pi(۶) = \mathbf{۱۲\pi} \text{ cm}$$ ### گام سوم: محاسبه اندازه زاویه قطاع ($\theta$) بر حسب رادیان از فرمول طول کمان ($L = l \theta$) استفاده می‌کنیم، که در اینجا $l$ شعاع قطاع (مولد) است: $$L = l \theta \implies \theta = \frac{L}{l}$$ $$\theta = \frac{۱۲\pi}{۱۰} = \mathbf{\frac{۶\pi}{۵}} \text{ رادیان}$$ **نتیجه**: اندازه زاویه قطاع حاصل از شکل گسترده این مخروط $\mathbf{\frac{۶\pi}{۵}}$ رادیان است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۹۶ حسابان یازدهم سلام! این مسئله یک کاربرد نجومی و جغرافیایی از فرمول **طول کمان** برای محاسبه فاصله روی سطح زمین است. نقاط $A$ و $B$ روی یک دایره بزرگ (که از مرکز زمین می‌گذرد) قرار دارند. 🌍 ### گام اول: شناسایی پارامترها * **شعاع زمین ($r$)**: $۶۳۷۰ \text{ km}$ * **زاویه مرکزی ($\theta$)**: زاویه بین شعاع‌هایی که به $A$ و $B$ وصل شده‌اند، $۱۳^{\circ}$ است. * **فاصله ($L$)**: طول کمان $\widehat{AB}$ (که فاصله $A$ و $B$ روی سطح زمین است). ### گام دوم: تبدیل زاویه به رادیان زاویه $\theta$ باید بر حسب رادیان باشد. از فرمول $\mathbf{R = D \times \frac{\pi}{۱۸۰}}$ استفاده می‌کنیم: $$\theta = ۱۳^{\circ} \times \frac{\pi}{۱۸۰^{\circ}} = \mathbf{\frac{۱۳\pi}{۱۸۰}} \text{ رادیان}$$ ### گام سوم: محاسبه فاصله ($L$) از فرمول **طول کمان** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{L = r\theta}$ $$L = ۶۳۷۰ \times \frac{۱۳\pi}{۱۸۰}$$ **محاسبه عددی (با فرض $\pi \approx ۳.۱۴$ یا تقریب بهتر)**: $$L \approx ۶۳۷۰ \times \frac{۱۳ \times ۳.۱۴}{۱۸۰} \approx ۶۳۷۰ \times \frac{۴۰.۸۲}{۱۸۰}$$ $$L \approx ۶۳۷۰ \times ۰.۲۲۶۷ \approx \mathbf{۱۴۴۳}$$ کیلومتر **نتیجه**: فاصله بین دو نقطه $A$ و $B$ روی سطح زمین، تقریباً **۱۴۴۳ کیلومتر** است.